THE BEST CHAIRI: April 2012

Soal Matematika D-3 Monbukagakusho.

Diketahui $\alpha =2; \beta =\sqrt{3}+i$; dan $\gamma =1+i; \left ( i^{2}=-1 \right )$. Temukan nilai mutlak r dan besar sudut $\theta$ dari $\frac{\alpha @plus;\beta }{\gamma } \left ( -\pi < \theta \leq \pi \right )$.

Solusi:

$\frac{\alpha +\beta }{\gamma } =\frac{2+\sqrt{3}+i}{1+i}\cdot \frac{1-i}{1-i}=\frac{2+\sqrt{3}-\left ( 2+\sqrt{3} \right )i+i-i^{2}}{1-i^{2}}$
$=\frac{3+\sqrt{3}-\left ( 1+\sqrt{3} \right )i}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}-\frac{\left ( 1+\sqrt{3} \right )i}{2}$
Bilangan kompleks pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan dua suku (a+bi), dengan suku pertama adalah bilangan riil, dan suku kedua adalah bilangan imajiner. Misalnya, 2+3i.

Dengan menganggap bahwa: $r = \sqrt {a^2 + b^2}$ dan $\theta = \arctan(\frac{b}{a})$ , maka

$a+bi = r\left ( cos \theta + i sin \theta \right )$
Untuk mempersingkat penulisan, bentuk di atas juga sering ditulis sebagai $r \, cis \theta$ .

$\frac{3+\sqrt{3}}{2}-\frac{\left ( 1+\sqrt{3} \right )i}{2}=rcos\theta + irsin\theta$
$\frac{rsin\theta }{rcos\theta }=\frac{-\frac{\left ( 1+\sqrt{3} \right )}{2}}{\frac{3+\sqrt{3}}{2}}$
$tan\theta =\frac{-\left ( 1+\sqrt{3} \right )}{3+\sqrt{3}}=\frac{-\left ( 1+\sqrt{3} \right )}{\sqrt{3}\left ( \sqrt{3}+1 \right )}=\frac{-1}{\sqrt{3}}$
sehingga diperoleh $\theta =-30\circ = -\frac{\pi }{6}$
(Sudut theta sebenarnya bisa juga $\frac{5\pi }{6}$ , tapi karena sin yang negatif dan cos positif, maka theta harus berada di kuadran IV. Jadi, $\theta =\frac{5\pi }{6}$ bukan penyelesaian)
$\left ( rsin\theta \right )^{2}+\left ( rcos\theta \right )^{2}=\left ( -\frac{1+\sqrt{3}}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{3+\sqrt{3}}{2} \right )^{2}$
$r^{2}\left ( sin^{2}\theta +cos^{2}\theta \right )=\frac{1+3+2\sqrt{3}}{4}+\frac{9+3+6\sqrt{3}}{4}=\frac{16+8\sqrt{3}}{4}=4+2\sqrt{3}$
$r=\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{1+3+2\sqrt{1\cdot 3}}=\sqrt{\left ( 1+\sqrt{3} \right )^{2}}=1+\sqrt{3} \right$

$\therefore$ Jadi, $r = 1+\sqrt{3}$ dan $\theta =-30\circ = -\frac{\pi }{6}$

THE BEST CHAIRI

Laman

Saturday, April 14, 2012

Latex